فريق صقر الجنوب
المشرفين
حل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية
>> تُستخدم طريقة التعويض لحل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية .
مثال (1)
حلّ النظام التالي :
س + ص = 2 ، س2 - ص2 = 4
الحل :
الخطوة (1)
اجعل أحد المتغيرين بدلالة الآخر وليكن ص في المعادلة الخطية .
س + ص = 2 ==> ص = 2 - س
الخطوة (2)
عوض في المعادلة التربيعية بدلا من ص القيمة ( 2 – س ).
س2 - ص2 = 3 ==> س2 - (2 - س)2 = 4
والآن فك القوس ينتج :
س2 - (4 - 4س + س2) = 4
س2 - 4 + 4س - س2 = 4
وبجمع الحدود المتشابهة ينتج : - 4 + 4س = 4 ==> س = 2
◘ والآن جد قيمة ص بالتعويض في المعادلة الخطية :
س + ص = 2 ==> 2 + ص = 2 ==> ص = 0
∴ حل النظام هو : ( 2 ، 0 )
مثال (2)
حل النظام التالي :
س2 + ص2 = 10 ، ص = 2 س - 5
الحل :
◘ عوض مباشرة المعادلة الخطية ص = 2س - 5 في المعادلة التربيعية :
س2 + ص2 = 10 ==> س2 + ( 2س - 5 )2 = 10
بفك القوس ينتج :
س2 + 4س2 - 20س + 25 = 10
5س2 - 20 س + 25 = 10 ==> 5س2 - 20س + 15 = 0
• اقسم المعادلة على 5 ، ثم حللها إلى عواملها الأولية :
س2 - 4س + 3 = 0
(س - 3) (س - 1) = 0
إما س - 3 = 0 ==> س = 3
أو س - 1 = 0 ==> س = 1
◘ والآن نجد قيم ص بالتعويض في المعادلة الخطية : ص = 2 س - 5 :
• إذا كانت س = 3 فإنّ ص = 2 × 3 - 5 = 6 - 5 = 1 أي أن ص = 1
• إذا كانت س = 1 فإنّ ص = 2 × 1 - 5 = 2 - 5 = - 3 أي أن ص = - 3
∴ مجموعة حل النظام هي {( 3 ، 1) ، ( 1 ، - 3)}
مثال (3)
حل النظام التالي :
س ص = 32 ، ص - 2 س = 0
الحل :
◘ اجعل ص بدلالة س في المعادلة الخطية : ص - 2 س = 0 ،، ∴ ص = 2س
◘ عوض ما حصلت عليه في الخطوة الأولى في المعادلة التربيعية :
س ص = 32 ==> س × (2 س) = 32 ==> 2س2 = 32
==> س2 = 16 ∴ س = ± 4
◘ والآن جد قيم ص من المعادلة ص = 2س
• عندما س = 4 ، فإنّ ص = 2 × 4 = 8
• وإذا كانت س = - 4 ، فإنّ ص = 2 × - 4 = - 8
∴ حل النظام هو : {(4 ، 8) ، (- 4 ، - 8)}
مثال (3)
عددان حقيقيان يزيد أحدهما عن ثلاثة أمثال الآخر بمقدار 2 ، فإذا كان مجموع مربعيهما = 68 ، فما العددان ؟
الحل :
• افرض العدد الأول = س ، العدد الثاني = ص
◘ الآن كون المعادلات :
س = 3 ص + 2 ............. المعادلة (1)
س2 + ص2 = 68 ............. المعادلة (2)
◘ عوض مباشرة المعادلة الخطية س = 3ص + 2، في المعادلة التربيعية :
(3ص + 2)2 + ص2 = 68
9ص2 + 12ص + 4 + ص2 = 68 ==> 10ص2 + 12ص - 64 = 0
◘ نقسم على 2 ثم نحلل العبارة التربيعية :
5ص2 + 6ص - 32 = 0 ==> (5ص + 16) (ص - 2) = 0
إما 5 ص + 16 = 0 ==> ص = - 3.2=
أو ص - 2 = 0 ==> ص = 2
◘ لإيجاد قيم س نستخدم المعادلة الخطية س = 3ص + 2
إذا كان ص = - 3.2 فإنّ س = 3 × - 3.2 + 2 ==> س = - 7.6
إذا كان ص = 2 فإنّ س = 3 × 2 + 2 ==> س = 8
حل النظام هو {(- 3.2 ، - 7.6) ، ( 8 ، 2)}
>> تُستخدم طريقة التعويض لحل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية .
مثال (1)
حلّ النظام التالي :
س + ص = 2 ، س2 - ص2 = 4
الحل :
الخطوة (1)
اجعل أحد المتغيرين بدلالة الآخر وليكن ص في المعادلة الخطية .
س + ص = 2 ==> ص = 2 - س
الخطوة (2)
عوض في المعادلة التربيعية بدلا من ص القيمة ( 2 – س ).
س2 - ص2 = 3 ==> س2 - (2 - س)2 = 4
والآن فك القوس ينتج :
س2 - (4 - 4س + س2) = 4
س2 - 4 + 4س - س2 = 4
وبجمع الحدود المتشابهة ينتج : - 4 + 4س = 4 ==> س = 2
◘ والآن جد قيمة ص بالتعويض في المعادلة الخطية :
س + ص = 2 ==> 2 + ص = 2 ==> ص = 0
∴ حل النظام هو : ( 2 ، 0 )
مثال (2)
حل النظام التالي :
س2 + ص2 = 10 ، ص = 2 س - 5
الحل :
◘ عوض مباشرة المعادلة الخطية ص = 2س - 5 في المعادلة التربيعية :
س2 + ص2 = 10 ==> س2 + ( 2س - 5 )2 = 10
بفك القوس ينتج :
س2 + 4س2 - 20س + 25 = 10
5س2 - 20 س + 25 = 10 ==> 5س2 - 20س + 15 = 0
• اقسم المعادلة على 5 ، ثم حللها إلى عواملها الأولية :
س2 - 4س + 3 = 0
(س - 3) (س - 1) = 0
إما س - 3 = 0 ==> س = 3
أو س - 1 = 0 ==> س = 1
◘ والآن نجد قيم ص بالتعويض في المعادلة الخطية : ص = 2 س - 5 :
• إذا كانت س = 3 فإنّ ص = 2 × 3 - 5 = 6 - 5 = 1 أي أن ص = 1
• إذا كانت س = 1 فإنّ ص = 2 × 1 - 5 = 2 - 5 = - 3 أي أن ص = - 3
∴ مجموعة حل النظام هي {( 3 ، 1) ، ( 1 ، - 3)}
مثال (3)
حل النظام التالي :
س ص = 32 ، ص - 2 س = 0
الحل :
◘ اجعل ص بدلالة س في المعادلة الخطية : ص - 2 س = 0 ،، ∴ ص = 2س
◘ عوض ما حصلت عليه في الخطوة الأولى في المعادلة التربيعية :
س ص = 32 ==> س × (2 س) = 32 ==> 2س2 = 32
==> س2 = 16 ∴ س = ± 4
◘ والآن جد قيم ص من المعادلة ص = 2س
• عندما س = 4 ، فإنّ ص = 2 × 4 = 8
• وإذا كانت س = - 4 ، فإنّ ص = 2 × - 4 = - 8
∴ حل النظام هو : {(4 ، 8) ، (- 4 ، - 8)}
مثال (3)
عددان حقيقيان يزيد أحدهما عن ثلاثة أمثال الآخر بمقدار 2 ، فإذا كان مجموع مربعيهما = 68 ، فما العددان ؟
الحل :
• افرض العدد الأول = س ، العدد الثاني = ص
◘ الآن كون المعادلات :
س = 3 ص + 2 ............. المعادلة (1)
س2 + ص2 = 68 ............. المعادلة (2)
◘ عوض مباشرة المعادلة الخطية س = 3ص + 2، في المعادلة التربيعية :
(3ص + 2)2 + ص2 = 68
9ص2 + 12ص + 4 + ص2 = 68 ==> 10ص2 + 12ص - 64 = 0
◘ نقسم على 2 ثم نحلل العبارة التربيعية :
5ص2 + 6ص - 32 = 0 ==> (5ص + 16) (ص - 2) = 0
إما 5 ص + 16 = 0 ==> ص = - 3.2=
أو ص - 2 = 0 ==> ص = 2
◘ لإيجاد قيم س نستخدم المعادلة الخطية س = 3ص + 2
إذا كان ص = - 3.2 فإنّ س = 3 × - 3.2 + 2 ==> س = - 7.6
إذا كان ص = 2 فإنّ س = 3 × 2 + 2 ==> س = 8
حل النظام هو {(- 3.2 ، - 7.6) ، ( 8 ، 2)}