المخروط الدائري القائم

الأهداف : عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تكون قادراً على إيجاد حجم المخروط ومساحة سطحه الخارجية .



تمهيد : ذهب علي مع عائلته إلى حديقة الألعاب ، وعندما رأى علي بائع البوشار طلب منه أبوه أن يذهب ويشتري من بائع البوشار ، فأخذ من أبيه ( 100 فلس ) وذهب إلى بائع البوشار ليشتري منه ، وعندما ذهب علي إلى البائع ، وطلب منه أن يعطيه البوشار ، وضع له البائع البوشار في لفافة ورقية على الشكل التالي .
ما اسم هذا الشكل ؟ وما هو مكوناته ؟
إن هذا الشكل يدعى بالمخروط الدائري القائم . وللتعرف على مكوناته دعنا نقوم بالنشاط التالي :
1. أحضر قطعة من الورق على شكل دائرة .
2. اقتطع من تلك الورقة قطاع دائري كما في الشكل .
3. لف القطاع حتى ينطبق م أ على م ب ثم ألصق م أ مع م ب .
افتح الشكل واجعل قاعدته دائرية تحصل على شكل حجمي هو المخروط .


مفاهيم ومصطلحات خاصة بالمخروط :
1. م رأس المخروط .
2. أ م راسم المخروط وطوله (ل) .
3. القوس أ ب جـ قاعدة المخروط الدائري وطوله = محيط القاعدة .
4.م د ارتفاع المخروط ويرمز له بالرمز (ع) حيث د مركز الدائـرة التي هي قاعدة المخروط

الآن وقد تعرفت على أجزاء المخروط سوف نبحث معاً : أولاً : حساب مساحة سطح المخروط الدائري القائم الخارجية :
تعلم أن مساحة سطح المخروط الخارجية هي عبارة عن مساحة القطاع الدائري بالإضافة إلى مساحة القاعدة للمخروط الدائري .
ومن هذا نستنتج أن المساحة الخارجية للمخروط :
= مساحة القطاع الدائري + مساحة قاعدة المخروط
= ل نق

+ نق2

حيث ل : طول راسم المخروط . نق : نصف قطر قاعدة المخروط .
أمثلة :
1. احسب المساحة الخارجية للمخروط الدائري القائم الذي نصف قطر قاعدته 7 سم ، وارتفاعه 24 سم .
الحل : لاحظ أن المخروط الدائري القائم ، لا تعرف طول راسمه (ل) ، ولكي نتمكن من حساب طول (ل) نستخدم نظرية فيثاغورس حيث .
ل2 = نق2 + ع2 ـ ل2 = ( 24 )2 + (7)2
ل2 = 49 + 576 = ل2 = 625 ـ ل =
والآن نعود لحساب مساحة المخروط الخارجية :
مساحة المخروط الخارجية = مساحة القطاع + مساحة القاعدة
= ل نق p + نق2 p
+ 7 × 7 ×
= 25 × 7 ×
= 25 × 22 + 22 × 7 = 550 + 154 = 704 سم2 .

2. مخروط دائري قائم طول نصف قطر قاعدته 10 سم ، وطول راسمه 30 سم احسب مساحته الخارجية.
الحل : المساحة الخارجية = مساحة القطاع الدائري + مساحة القاعدة
= نق ل p + نق2 p
= 10 × 30 × 3.14 + 10 × 10 × 3.14
= 314 × 3 + 314 = 942 + 314 = 1256 سم2 .

أولاً : طريقة عملية للمقارنة بين حجم الأسطوانة وحجم المخروط :
(يمكنك أن تجري هذا العمل في مختبر المدرسة أو في المنزل .)
ـ الكؤوس الأسطوانية موجودة بكثرة في المختبر والمنزل ، فأين نجد المخاريط ؟ إنها موجودة أيضاً في المختبر والمنزل ، إنها الأقماع التي تستخدمها في نقل السوائل من وعاء إلى وعاء آخر .
ـ اختر قمعاً وكأساً بحيث تكون دائرة فوهة القمع = دائرة قاعدة الأسطوانة أي يكون نق لهما هو ذاته.
ـ يمكنك أن تقيس ارتفاع المخروط ( القمع ) باستخدام سلك مستقيم تماماً أو أي عمود خشب مستقيم .
ـ إذا لم يكن ارتفاع الأسطوانة( الكأس ) مساوياً لارتفاع القمع ، فاملأ الكأس إلى الحد الذي يساوي ارتفاع المخروط ( القمع ) .
ـ أغلق أنبوبة القمع بورق السلوفان أو الجيلاتين إلاّ جزءاً صغيراً جداً منها ( لماذا ) ؟؟
ـ استخدم مخباراً مدرجاً واملأ الأسطوانة بالماء . وجد حجمها وسجله على دفترك .
ـ استخدم ذات المخبار المدرج في ملء القمع وجد حجمه .
ـ كرر العمل على كؤوس وأقماع أخرى .
بالتقريب .
ـ أوجد النسبة
ـ إذا أجريت العمل بدقة ستجد أنّ :
حجم الأسطوانة = ثلاثة أمثال حجم المخروط .
ملاحظة هامة : بالطبع لن تكون نتيجة العمل بهذه الدقة ، فهنالك الكثير من مصادر الخطأ في العمل . ولكن الأرقام التي
تحصل عليها نتيجة العمل ستحقق العلاقة
لكن حجم الأسطوانة كما وجدناه = نق2

ع
نق2

ع
إذن حجم المخروط =

أولاً : طريقة عملية للمقارنة بين حجم الأسطوانة وحجم المخروط :
(يمكنك أن تجري هذا العمل في مختبر المدرسة أو في المنزل .)
ـ الكؤوس الأسطوانية موجودة بكثرة في المختبر والمنزل ، فأين نجد المخاريط ؟ إنها موجودة أيضاً في المختبر والمنزل ، إنها الأقماع التي تستخدمها في نقل السوائل من وعاء إلى وعاء آخر .
ـ اختر قمعاً وكأساً بحيث تكون دائرة فوهة القمع = دائرة قاعدة الأسطوانة أي يكون نق لهما هو ذاته.
ـ يمكنك أن تقيس ارتفاع المخروط ( القمع ) باستخدام سلك مستقيم تماماً أو أي عمود خشب مستقيم
ـ إذا لم يكن ارتفاع الأسطوانة( الكأس ) مساوياً لارتفاع القمع ، فاملأ الكأس إلى الحد الذي يساوي ارتفاع المخروط ( القمع ) .
ـ أغلق أنبوبة القمع بورق السلوفان أو الجيلاتين إلاّ جزءاً صغيراً جداً منها ( لماذا ) ؟؟
ـ استخدم مخباراً مدرجاً واملأ الأسطوانة بالماء . وجد حجمها وسجله على دفترك .
ـ استخدم ذات المخبار المدرج في ملء القمع وجد حجمه .
ـ كرر العمل على كؤوس وأقماع أخرى .
بالتقريب .
ـ أوجد النسبة
ـ إذا أجريت العمل بدقة ستجد أنّ :
حجم الأسطوانة = ثلاثة أمثال حجم المخروط .
ملاحظة هامة : بالطبع لن تكون نتيجة العمل بهذه الدقة ، فهنالك الكثير من مصادر الخطأ في العمل . ولكن الأرقام التي
تحصل عليها نتيجة العمل ستحقق العلاقة
لكن حجم الأسطوانة كما وجدناه = نق2

ع
نق2

ع
إذن حجم المخروط =
تدريبات شفهية : أجب بنفسك عما يلي :
-أسطوانة حجمها 300 سم3 ، كم حجم المخروط الذي له ذات قاعدة وارتفاع الأسطوانة ؟
-مخروط حجمه 20 سم3 ، كم حجم الأسطوانة التي لها ذات القاعدة والارتفاع ؟
-مخروط وأسطوانة لهما ذات القاعدة ومتساويان في الحجم. إذا كان ارتفاع الأسطوانة = 10 سم ، فما ارتفاع المخروط ؟

ثانياً : حجم المخروط الدائري القائم :

حجم الأسطوانة
أي أن حجم المخروط =
p نق2 ع .
=
أمثلة محلولة :
1. مخروط دائري قائم يشترك مع أسطوانة دائرية قائمة في الارتفاع ونصف قطر القاعدة . فإذا كان حجم الأسطوانة 3360 سم3 ، فكم حجم المخروط ؟
الحل :
حجم الأسطوانة المشترك معها بالقاعدة والارتفاع
حجم المخروط =
× 3360 = 1120 سم3 .
= 2. مخروط دائري قائم نصف قطر قاعدته 12 م وارتفاعه 15 م .
نق2 p ع
الحل : حجم المخروط =
× 12 × 12 × 3.14 × 15 = 60 × 12 × 3.14
=
= 720 × 3.14 = 2260.8 سم3 .
3. جد طول راسم مخروط قائم ، طول نصف قطر قاعدته 12 سم ، وحجمه 768 p سم3 .
الحل :
لإيجاد راسم المخروط يجب أن نعرف ارتفاع المخروط وارتفاع المخروط غير معلوم . ولكن يمكن إيجاده عن طريقة حجم المخروط . حيث :
نق2 p ع

حجم المخروط =
768=12×12 p ×ع
ـ 768 p =48 p ع ثم نعود لحساب طول الراسم ونستخدم نظرية فيثاغورس :
ل2 = ع2 + نق2 ـ ل2 = ( 16)2 + ( 12)2
ل2 = 256+ 144 = 400
= 20 سم .
ل =

ثانياً : حجم المخروط الدائري القائم :
حجم المخروط الكبير = ح وحدة حجم .

مثال : نق = 24 سم ، ع = 20 سم ، مسافة القص عن الرأس = 10 سم .
الحل : ارتفاع المخروط الصغير= 10 سم .